Espacios vectoriales.

 

Espacios y subespacios vectoriales.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real). Un subespacio vectorial, es un subconjunto W de un espacio vectorial V se denomina subespacio de V si W mismo es un espacio vectorial con los mismos escalares, adición y multiplicación por escalares que V. V.

 

Ocho axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1.    ❤  U + V ∈ V

2.    ❤  U + V = V + U

3.    ❤   (U + V) + W = U + (V + W)

4.     ❤ Existe un vector nulo 0_v ∈ V tal que v + 0_v = v

5.    ❤  Para cada v en V, existe un opuesto (-v)  ∈ V tal que v + (-v) = 0_v

6.    ❤  αv ∈ V

7.    ❤  α (u + v) = αu + αv

8.    ❤  (α + β) = αv + βv

 

Propiedad 1.

0 u = 0_v

Propiedad 2.

α 0_v = 0_v

Propiedad 3.

(-α) u = - (αu)

 

Explica cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

La dimensión de un subespacio H diferente de cero, denotada mediante dim H, es el número de vectores que hay en cualquier base de H.

El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio.